Содержание:
Билет № 13
Вопрос № 1. Линейное пространство. Евклидово нормированное пространство. Скалярное произведение, норма элемента, угол между элементами, неравенство Коши-Буняковского.
Вопрос №2. Система линейных алгебраических неравенств с двумя переменными. Графический способ исследования и нахождения решения.
Вопрос №3. Определитель квадратной матрицы, правило нахождения и свойства определителя.
Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений, сделать проверку
3x – 2y – z = – 5
x + 3y + 2z = 2
5x – 2y + 4z = – 7
Вопрос № 1. Линейное пространство. Евклидово нормированное пространство. Скалярное произведение, норма элемента, угол между элементами, неравенство Коши-Буняковского.
Линейное пространство - множество элементов произвольной природы, для которых выполнены:
Правило, по которому любым двум элементам множества ставится элемент того же множества, называемый их суммой.
Правило, по которому любому элементу из множества и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент, называемый произведением элемента на число.
Относительно введенных операций выполнены следующие аксиомы:
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
Существует нулевой элемент
Существует противоположный элемент для каждого элемента
1•х=х
?(?x)=(??)x
(?+?)x=?x+?x
?(x+y)=?x+?y
Линейное пространство называется евклидовым пространством если выполнены следующие требования:
Правило, посредством которого любым двум элементам x y ставится в соответствии вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначается (x;y)
Выполнены аксиомы:
1. (Lx,y)=L(x,y)
2. (x,y_1+y_2)=(xy_1)+(xy_2)
3. (x,y)=(у,х)
4.(х,х) ? 0, при этом (x,x) = 0 <=> x = 0
Неравенство Коши-Буняковского.
(x,y)^2?(x,x)(y,y)
Свойства скалярного произведения:
(y_1 + y_2,x) = (y_1,x) + (y_2,x)
(x,Ly) = L(x,y)
(x,y_1 - y_2) = (y_1 - y_2,x) = (x,y_1) - (x,y_2)
(x,0) = 0
Линейное пространство называется нормированным если выполнены следующие требования:
Правило посредством которого каждому элементу ставится в соответствии вещественное число называемое нормой указанного элемента и обозначается ?x?
Выполнены аксиомы:
1. ||x||>=0, причем ||x|| = 0 ? x = 0
2.||lx||=|l|||x||
3.||x+y||<=||x||+||y||
Всякое евклидово пространства является нормированным, если в нём норму элемента определить равенством
?x?=v((х;x))
Углом между элементами X и Y назовем угол косинус которого определяется соотношением:
cos?((x,y) ?) = (x;y)/v((х;x)) v((y;y))
Два произвольных элемента X и Y назовем ортогональными если скалярное произведение X и Y=0
|(|x + y|)|^2= |(|x|)|^2+ |(|y|)|^2, если (x,y) = 0 - аналог теоремы Пифагора
Вопрос №2. Система линейных алгебраических неравенств с двумя переменными. Графический способ исследования и нахождения решения.
Линейное неравенство с двумя переменными ax+by+с?0определяет на плоскости одну из двух полуплоскостей, определяемых прямой с уравнением ах+by+с=0, т. е. множество точек, лежащих по одну сторону от этой прямой и на самой прямой.
Рассмотрим теперь систему линейных неравенств с двумя неизвестными:
{-(a_1 x+b_1 y+c_1?0@a_2 x+b_2 y+c_2?0@…@a_(m-1) x+b_(m-1) y+c_(m-1)?0@a_m x+b_m y+c_m?0)+
Множество точек плоскости, определяемых этой системой, состоит из тех точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.
Значит, это множество есть пересечение тех полуплоскостей, которые определяются неравенствами данной системы.
Нетрудно видеть, что это множество является многоугольной выпуклой областью на плоскости (выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками из этого множества все точки отрезка, соединяющего их, тоже лежат в этом множестве). При помощи соответствующей системы линейных неравенств, можно получить выпуклый многоугольник, выпуклую неограниченную область, луч, отрезок, точку или пустое множество.
Графическим решением систем неравенств с двумя переменными является множество точек, получившихся пересечением частей.
Для решения системы линейных неравенств с двумя неизвестными ......................................................
Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Контрольная работа по математике
Билет № 13
Вопрос № 1. Линейное пространство. Евклидово нормированное пространство. Скалярное произведение, норма элемента, угол между элементами, неравенство Коши-Буняковского.
Вопрос №2. Система линейных алгебраических неравенств с двумя переменными. Графический способ исследования и нахождения решения.
Вопрос №3. Определитель квадратной матрицы, правило нахождения и свойства определителя.
Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений, сделать проверку
3x – 2y – z = – 5
x + 3y + 2z = 2
5x – 2y + 4z = – 7
Вопрос № 1. Линейное пространство. Евклидово нормированное пространство. Скалярное произведение, норма элемента, угол между элементами, неравенство Коши-Буняковского.
Линейное пространство - множество элементов произвольной природы, для которых выполнены:
Правило, по которому любым двум элементам множества ставится элемент того же множества, называемый их суммой.
Правило, по которому любому элементу из множества и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент, называемый произведением элемента на число.
Относительно введенных операций выполнены следующие аксиомы:
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
Существует нулевой элемент
Существует противоположный элемент для каждого элемента
1•х=х
?(?x)=(??)x
(?+?)x=?x+?x
?(x+y)=?x+?y
Линейное пространство называется евклидовым пространством если выполнены следующие требования:
Правило, посредством которого любым двум элементам x y ставится в соответствии вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначается (x;y)
Выполнены аксиомы:
1. (Lx,y)=L(x,y)
2. (x,y_1+y_2)=(xy_1)+(xy_2)
3. (x,y)=(у,х)
4.(х,х) ? 0, при этом (x,x) = 0 <=> x = 0
Неравенство Коши-Буняковского.
(x,y)^2?(x,x)(y,y)
Свойства скалярного произведения:
(y_1 + y_2,x) = (y_1,x) + (y_2,x)
(x,Ly) = L(x,y)
(x,y_1 - y_2) = (y_1 - y_2,x) = (x,y_1) - (x,y_2)
(x,0) = 0
Линейное пространство называется нормированным если выполнены следующие требования:
Правило посредством которого каждому элементу ставится в соответствии вещественное число называемое нормой указанного элемента и обозначается ?x?
Выполнены аксиомы:
1. ||x||>=0, причем ||x|| = 0 ? x = 0
2.||lx||=|l|||x||
3.||x+y||<=||x||+||y||
Всякое евклидово пространства является нормированным, если в нём норму элемента определить равенством
?x?=v((х;x))
Углом между элементами X и Y назовем угол косинус которого определяется соотношением:
cos?((x,y) ?) = (x;y)/v((х;x)) v((y;y))
Два произвольных элемента X и Y назовем ортогональными если скалярное произведение X и Y=0
|(|x + y|)|^2= |(|x|)|^2+ |(|y|)|^2, если (x,y) = 0 - аналог теоремы Пифагора
Вопрос №2. Система линейных алгебраических неравенств с двумя переменными. Графический способ исследования и нахождения решения.
Линейное неравенство с двумя переменными ax+by+с?0определяет на плоскости одну из двух полуплоскостей, определяемых прямой с уравнением ах+by+с=0, т. е. множество точек, лежащих по одну сторону от этой прямой и на самой прямой.
Рассмотрим теперь систему линейных неравенств с двумя неизвестными:
{-(a_1 x+b_1 y+c_1?0@a_2 x+b_2 y+c_2?0@…@a_(m-1) x+b_(m-1) y+c_(m-1)?0@a_m x+b_m y+c_m?0)+
Множество точек плоскости, определяемых этой системой, состоит из тех точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.
Значит, это множество есть пересечение тех полуплоскостей, которые определяются неравенствами данной системы.
Нетрудно видеть, что это множество является многоугольной выпуклой областью на плоскости (выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками из этого множества все точки отрезка, соединяющего их, тоже лежат в этом множестве). При помощи соответствующей системы линейных неравенств, можно получить выпуклый многоугольник, выпуклую неограниченную область, луч, отрезок, точку или пустое множество.
Графическим решением систем неравенств с двумя переменными является множество точек, получившихся пересечением частей.
Для решения системы линейных неравенств с двумя неизвестными ......................................................