Содержание:
Контрольная работа
Вариант 9
Студент очно-заочной формы обучения
Задание I. Аналитическая геометрия
Дано: Координаты вершин пирамиды: A_1 (1,-1,2), A_2 (0,-1,6), A_3 (-1,0,2), A_4 (1,1,4).
Решение
Сначала найдем координаты векторов, выходящих из вершины A_1:
(A_1 A_2 ) ?=(0-1;-1-(-1);6-2)=(-1;0;4)
(A_1 A_3 ) ?=(-1-1;0-(-1);2-2)=(-2;1;0)
(A_1 A_4 ) ?=(1-1;1-(-1);4-2)=(0;2;2)
1) Длина ребра A_1 A_2
|(A_1 A_2 ) ?|=v(x^2+y^2+z^2 )=v((-1)^2+0^2+4^2 )=v(1+16)=v17?4.12
2) Угол между ребрами A_1 A_2 и A_1 A_4 Косинус угла ? вычисляется через скалярное произведение:
cos?=((A_1 A_2 ) ??(A_1 A_4 ) ?)/(|(A_1 A_2 ) ?|?|(A_1 A_4 ) ?|)
Скалярное произведение:
(A_1 A_2 ) ??(A_1 A_4 ) ?=(-1)?0+0?2+4?2=8
Длины векторов:
|(A_1 A_2 ) ?|=v17
|(A_1 A_4 ) ?|=v(0^2+2^2+2^2 )=v(4+4)=v8=2v2
cos?=8/(v17?2v2)=4/v34?0.686
?=arccos(4/v34)
3) Угол между ребром A_1 A_4 и гранью A_1 A_2 A_3 Сначала найдем нормальный вектор N ? грани A_1 A_2 A_3 как векторное произведение (A_1 A_2 ) ? и (A_1 A_3 ) ?:
N ?=(A_1 A_2 ) ??(A_1 A_3 ) ?=?¦(i&j&k@-1&0&4@-2&1&0)?
N ?=i(0?0-4?1)-j((-1)?0-4?(-2))+k((-1)?1-0?(-2))
N ?=-4i-8j-1k=(-4;-8;-1)
Для удобства возьмем вектор n ?=(4;8;1). Синус угла ? между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости:
sin?=(|(A_1 A_4 ) ??n ?|)/(|(A_1 A_4 ) ?|?|n ?|)
(A_1 A_4 ) ??n ?=0?4+2?8+2?1=16+2=18
|n ?|=v(4^2+8^2+1^2 )=v(16+64+1)=v81=9
sin?=18/(2v2?9)=2/(2v2)=1/v2
Так как sin?=v2/2, то угол ?=45^?.
4) Площадь грани A_1 A_2 A_3 Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения:
S=1/2|N ?|=1/2?9=4.5" кв.ед."
5) Объем пирамиды Объем пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов ((A_1 A_2 ) ?,(A_1 A_3 ) ?,(A_1 A_4 ) ?). Смешанное произведение равно скалярному произведению ((A_1 A_2 ) ??(A_1 A_3 ) ?)?(A_1 A_4 ) ?, то есть N ??(A_1 A_4 ) ?. В пункте 3 мы уже вычислили N ??(A_1 A_4 ) ? (с учетом знака нормали исходного векторного произведения N ?=(-4,-8,-1), произведение было бы -18, но для объема берем модуль).
V=1/6|18|=3" куб.ед."
6) Уравнение прямой A_1 A_2 Используем точку A_1 (1,-1,2) и направляющий вектор (A_1 A_2 ) ?(-1,0,4). Каноническое уравнение:
(x-1)/(-1)=(y+1)/0=(z-2)/4
7) Уравнение плоскости A_1 A_2 A_3 Используем точку A_1 (1,-1,2) и нормальный вектор n ?(4,8,1) (найден в пункте 3).
4(x-1)+8(y+1)+1(z-2)=0
4x-4+8y+8+z-2=0
4x+8y+z+2=0
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A_4 на грань A_1 A_2 A_3 Высота проходит через точку A_4 (1,1,4) перпендикулярно грани. Значит, направляющий вектор высоты совпадает с нормальным вектором плоскости n ?(4,8,1).
(x-1)/4=(y-1)/8=(z-4)/1
Задание II. Собственные значения и векторы
Дано: Матрица A=(¦(6&2&-2@3&5&-3@1&-1&3)), ?_1=4.
Решение
1. Проверим, является ли ?_1=4 собственным значением. Для этого определитель матрицы (A-4E) должен быть равен 0.
A-4E=(¦(6-4&2&-2@3&5-4&-3@1&-1&3-4))=(¦(2&2&-2@3&1&-3@1&-1&-1))
Найдем определитель:
?=2(1?(-1)-(-3)?(-1))-2(3?(-1)-(-3)?1)+(-2)(3?(-1)-1?1)
?=2(-1-3)-2(-3+3)-2(-3-1)=2(-4)-0-2(-4)=-8+8=0
Определитель равен 0, следовательно, ?_1=4 является собственным значением.
2. Найдем все собственные значения. Характеристическое уравнение |A-?E|=0:
?¦(6-?&2&-2@3&5-?&-3@1&-1&3-?)?=0
Раскроем определитель:
(6-?)((5-?)(3-?)-3)-2(3(3-?)+3)-2(-3-(5-?))=0
(6-?)(?^2-8?+15-3)-2(9-3?+3)-2(-8+?)=0
(6-?)(?^2-8?+12)-2(12-3?)+16-2?=0
(6-?)(?-2)(?-6)-24+6?+16-2?=0
-(?-6)^2 (?-2)+4?-8=0
-(?-6)^2 (?-2)+4(?-2)=0
……………………………….
Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Контрольная работа (вариант 9)
Контрольная работа
Вариант 9
Студент очно-заочной формы обучения
Задание I. Аналитическая геометрия
Дано: Координаты вершин пирамиды: A_1 (1,-1,2), A_2 (0,-1,6), A_3 (-1,0,2), A_4 (1,1,4).
Решение
Сначала найдем координаты векторов, выходящих из вершины A_1:
(A_1 A_2 ) ?=(0-1;-1-(-1);6-2)=(-1;0;4)
(A_1 A_3 ) ?=(-1-1;0-(-1);2-2)=(-2;1;0)
(A_1 A_4 ) ?=(1-1;1-(-1);4-2)=(0;2;2)
1) Длина ребра A_1 A_2
|(A_1 A_2 ) ?|=v(x^2+y^2+z^2 )=v((-1)^2+0^2+4^2 )=v(1+16)=v17?4.12
2) Угол между ребрами A_1 A_2 и A_1 A_4 Косинус угла ? вычисляется через скалярное произведение:
cos?=((A_1 A_2 ) ??(A_1 A_4 ) ?)/(|(A_1 A_2 ) ?|?|(A_1 A_4 ) ?|)
Скалярное произведение:
(A_1 A_2 ) ??(A_1 A_4 ) ?=(-1)?0+0?2+4?2=8
Длины векторов:
|(A_1 A_2 ) ?|=v17
|(A_1 A_4 ) ?|=v(0^2+2^2+2^2 )=v(4+4)=v8=2v2
cos?=8/(v17?2v2)=4/v34?0.686
?=arccos(4/v34)
3) Угол между ребром A_1 A_4 и гранью A_1 A_2 A_3 Сначала найдем нормальный вектор N ? грани A_1 A_2 A_3 как векторное произведение (A_1 A_2 ) ? и (A_1 A_3 ) ?:
N ?=(A_1 A_2 ) ??(A_1 A_3 ) ?=?¦(i&j&k@-1&0&4@-2&1&0)?
N ?=i(0?0-4?1)-j((-1)?0-4?(-2))+k((-1)?1-0?(-2))
N ?=-4i-8j-1k=(-4;-8;-1)
Для удобства возьмем вектор n ?=(4;8;1). Синус угла ? между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости:
sin?=(|(A_1 A_4 ) ??n ?|)/(|(A_1 A_4 ) ?|?|n ?|)
(A_1 A_4 ) ??n ?=0?4+2?8+2?1=16+2=18
|n ?|=v(4^2+8^2+1^2 )=v(16+64+1)=v81=9
sin?=18/(2v2?9)=2/(2v2)=1/v2
Так как sin?=v2/2, то угол ?=45^?.
4) Площадь грани A_1 A_2 A_3 Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения:
S=1/2|N ?|=1/2?9=4.5" кв.ед."
5) Объем пирамиды Объем пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов ((A_1 A_2 ) ?,(A_1 A_3 ) ?,(A_1 A_4 ) ?). Смешанное произведение равно скалярному произведению ((A_1 A_2 ) ??(A_1 A_3 ) ?)?(A_1 A_4 ) ?, то есть N ??(A_1 A_4 ) ?. В пункте 3 мы уже вычислили N ??(A_1 A_4 ) ? (с учетом знака нормали исходного векторного произведения N ?=(-4,-8,-1), произведение было бы -18, но для объема берем модуль).
V=1/6|18|=3" куб.ед."
6) Уравнение прямой A_1 A_2 Используем точку A_1 (1,-1,2) и направляющий вектор (A_1 A_2 ) ?(-1,0,4). Каноническое уравнение:
(x-1)/(-1)=(y+1)/0=(z-2)/4
7) Уравнение плоскости A_1 A_2 A_3 Используем точку A_1 (1,-1,2) и нормальный вектор n ?(4,8,1) (найден в пункте 3).
4(x-1)+8(y+1)+1(z-2)=0
4x-4+8y+8+z-2=0
4x+8y+z+2=0
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A_4 на грань A_1 A_2 A_3 Высота проходит через точку A_4 (1,1,4) перпендикулярно грани. Значит, направляющий вектор высоты совпадает с нормальным вектором плоскости n ?(4,8,1).
(x-1)/4=(y-1)/8=(z-4)/1
Задание II. Собственные значения и векторы
Дано: Матрица A=(¦(6&2&-2@3&5&-3@1&-1&3)), ?_1=4.
Решение
1. Проверим, является ли ?_1=4 собственным значением. Для этого определитель матрицы (A-4E) должен быть равен 0.
A-4E=(¦(6-4&2&-2@3&5-4&-3@1&-1&3-4))=(¦(2&2&-2@3&1&-3@1&-1&-1))
Найдем определитель:
?=2(1?(-1)-(-3)?(-1))-2(3?(-1)-(-3)?1)+(-2)(3?(-1)-1?1)
?=2(-1-3)-2(-3+3)-2(-3-1)=2(-4)-0-2(-4)=-8+8=0
Определитель равен 0, следовательно, ?_1=4 является собственным значением.
2. Найдем все собственные значения. Характеристическое уравнение |A-?E|=0:
?¦(6-?&2&-2@3&5-?&-3@1&-1&3-?)?=0
Раскроем определитель:
(6-?)((5-?)(3-?)-3)-2(3(3-?)+3)-2(-3-(5-?))=0
(6-?)(?^2-8?+15-3)-2(9-3?+3)-2(-8+?)=0
(6-?)(?^2-8?+12)-2(12-3?)+16-2?=0
(6-?)(?-2)(?-6)-24+6?+16-2?=0
-(?-6)^2 (?-2)+4?-8=0
-(?-6)^2 (?-2)+4(?-2)=0
……………………………….