Содержание:
Территории Северо-Западного федерального округа Расходы консолидированных бюджетов субъектов РФ, млрд.руб. Доходы консолидированных бюджетов субъектов РФ, млрд.руб.
Республика Карелия 9,86 8,49
Республика Коми 17,28 16,34
Архангельская бол. 18,78 18,28
Вологодская обл. 16,75 16,85
Калининградская обл. 9,71 9,32
Ленинградская обл. 18,97 18,1
Мурманская обл. 13,68 12,42
Новгородская обл. 6,36 5,95
Псковская обл. 7,51 7,05
1. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Оцените тесноту связи с помощью коэффициентов корреляции и детерминации, проанализируйте их значения.
3. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии по критерию Стьюдента.
4. Построить доверительные интервалы для параметров регрессии, коэффициента корреляции.
5. Рассчитайте прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора х составит 1,062 от среднего уровня (???). Определите доверительный интервал прогноза (для ? = 0,05).
6. В Excel с помощью надстройки Анализ данных получить параметры регрессии, коэффициенты корреляции, детерминации, доверительные интервалы и сравнить с вычисленными.
Решение:
- парная линейная регрессия в общем виде.
Необходимо найти коэффициенты b0, b1.
Для удобства промежуточные вычисления запишем в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 8,49 9,86 83,7114 72,0801 97,2196 9,1943 0,6657 0,4432 -4,0433 16,3485
2 16,34 17,28 282,3552 266,9956 298,5984 16,9928 0,2872 0,0825 3,8067 14,4907
3 18,28 18,78 343,2984 334,1584 352,6884 18,9201 -0,1401 0,0196 5,7467 33,0242
4 16,85 16,75 282,2375 283,9225 280,5625 17,4995 -0,7495 0,5617 4,3167 18,6336
5 9,32 9,71 90,4972 86,8624 94,2841 10,0189 -0,3089 0,0954 -3,2133 10,3255
6 18,1 18,97 343,3570 327,61 359,8609 18,7413 0,2287 0,0523 5,5667 30,9878
7 12,42 13,68 169,9056 154,2564 187,1424 13,0985 0,5815 0,3381 -0,1133 0,0128
8 5,95 6,36 37,8420 35,4025 40,4496 6,6710 -0,3110 0,0967 -6,5833 43,3403
9 7,05 7,51 52,9455 49,7025 56,4001 7,7638 -0,2538 0,0644 -5,4833 30,0669
Итого 112,8 118,9 1686,1498 1610,99 1767,206 118,9 1,7539 197,2304
Ср.знач. 12,5333 13,2111 187,3500 178,9989 196,3562 - - - - -
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии используем формулы:
Получено уравнение регрессии:
С увеличением доходов консолидированных бюджетов на 1 млрд.руб., расходы консолидированных бюджетов субъектов РФ возрастут на 0,9934 млрд.руб.
2. Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции:
Это означает, что 99,1% вариации расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ (у) объясняются доходами консолидированных бюджетов.
Оценивание значимости уравнения регрессии по F-критерию Фишера состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического значений F-критерия Фишера.
, где
n – число единиц совокупности,
m – число параметров при переменной х
Для парной регрессии m=1 и вместо R используем
- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы ( ) и уровне значимости ?. Уровень значимости ?- вероятность отвергнуть гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.
Если , то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, то есть . Если , то Но не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии и показателя тесноты связи, то есть .
Найдем
Из таблицы найдем = 5,59
Т.к. , то отклоняется гипотеза Н0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи, т.е. зависимость y от x статистически значима.
3. Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, тоо есть о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибка:
Стандартные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:
, где
- оценка остаточной дисперсии.
Сравнивая фактические и критическое значение t-статистики - и , принимаем или отвергаем гипотезу Но. определяется из таблицы распределения Стьюдента для уровня значимости ? и числа степеней свободы df=n-m-1.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством
.
Если , то гипотеза Но отклоняется, то есть не случайно отличен от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора х. Если , то гипотеза Но принимается и признается случайная природа формирования .
выдвигаем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля: .
для числа степеней свободы df=9-2=7 и ?=0,05 составит 2,36.
определим стандартные ошибки и :
,
Тогда
Фактическое t-статистики для коэффициента превосходит табличное значение , поэтому гипотеза Но отклоняется, то есть не случайно отличен от нуля, а статистически значим.
Критическое t-статистики для коэффициента превосходит фактическое значение , поэтому гипотеза Но принимается, то есть случайно отличен от нуля и статистически незначим.
4. Интервальная оценка для коэффициентов определяется по формулам:
;
если в границы доверительного интервала попадает ноль, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительно, и отрицательное значения.
анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметр , находясь в указанных границах, не принимает нулевых значений, то есть является статистически значимым и существенно отличен от нуля. Параметр является статистически незначимым.
5. Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:
и строится доверительный интервал:
Точечный прогноз расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ при прогнозном значении доходов консолидированных бюджетов млрд.руб. составит:
млрд.руб.
Найдем стандартную ошибку прогноза:
Доверительный интервал прогнозируемых расходов консолидируемых бюджетов:
6.
а) вбиваем столбцы исходных данных:
б) строим точечную диаграмму:
в) щелкнуть правой кнопкой мыши на место под диаграмму и выбрать пункт
Выбрать данные:
…………………………………………
Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Контрольная работа спо эконометрике
Территории Северо-Западного федерального округа Расходы консолидированных бюджетов субъектов РФ, млрд.руб. Доходы консолидированных бюджетов субъектов РФ, млрд.руб.
Республика Карелия 9,86 8,49
Республика Коми 17,28 16,34
Архангельская бол. 18,78 18,28
Вологодская обл. 16,75 16,85
Калининградская обл. 9,71 9,32
Ленинградская обл. 18,97 18,1
Мурманская обл. 13,68 12,42
Новгородская обл. 6,36 5,95
Псковская обл. 7,51 7,05
1. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Оцените тесноту связи с помощью коэффициентов корреляции и детерминации, проанализируйте их значения.
3. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии по критерию Стьюдента.
4. Построить доверительные интервалы для параметров регрессии, коэффициента корреляции.
5. Рассчитайте прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора х составит 1,062 от среднего уровня (???). Определите доверительный интервал прогноза (для ? = 0,05).
6. В Excel с помощью надстройки Анализ данных получить параметры регрессии, коэффициенты корреляции, детерминации, доверительные интервалы и сравнить с вычисленными.
Решение:
- парная линейная регрессия в общем виде.
Необходимо найти коэффициенты b0, b1.
Для удобства промежуточные вычисления запишем в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 8,49 9,86 83,7114 72,0801 97,2196 9,1943 0,6657 0,4432 -4,0433 16,3485
2 16,34 17,28 282,3552 266,9956 298,5984 16,9928 0,2872 0,0825 3,8067 14,4907
3 18,28 18,78 343,2984 334,1584 352,6884 18,9201 -0,1401 0,0196 5,7467 33,0242
4 16,85 16,75 282,2375 283,9225 280,5625 17,4995 -0,7495 0,5617 4,3167 18,6336
5 9,32 9,71 90,4972 86,8624 94,2841 10,0189 -0,3089 0,0954 -3,2133 10,3255
6 18,1 18,97 343,3570 327,61 359,8609 18,7413 0,2287 0,0523 5,5667 30,9878
7 12,42 13,68 169,9056 154,2564 187,1424 13,0985 0,5815 0,3381 -0,1133 0,0128
8 5,95 6,36 37,8420 35,4025 40,4496 6,6710 -0,3110 0,0967 -6,5833 43,3403
9 7,05 7,51 52,9455 49,7025 56,4001 7,7638 -0,2538 0,0644 -5,4833 30,0669
Итого 112,8 118,9 1686,1498 1610,99 1767,206 118,9 1,7539 197,2304
Ср.знач. 12,5333 13,2111 187,3500 178,9989 196,3562 - - - - -
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии используем формулы:
Получено уравнение регрессии:
С увеличением доходов консолидированных бюджетов на 1 млрд.руб., расходы консолидированных бюджетов субъектов РФ возрастут на 0,9934 млрд.руб.
2. Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции:
Это означает, что 99,1% вариации расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ (у) объясняются доходами консолидированных бюджетов.
Оценивание значимости уравнения регрессии по F-критерию Фишера состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического значений F-критерия Фишера.
, где
n – число единиц совокупности,
m – число параметров при переменной х
Для парной регрессии m=1 и вместо R используем
- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы ( ) и уровне значимости ?. Уровень значимости ?- вероятность отвергнуть гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.
Если , то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, то есть . Если , то Но не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии и показателя тесноты связи, то есть .
Найдем
Из таблицы найдем = 5,59
Т.к. , то отклоняется гипотеза Н0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи, т.е. зависимость y от x статистически значима.
3. Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, тоо есть о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибка:
Стандартные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:
, где
- оценка остаточной дисперсии.
Сравнивая фактические и критическое значение t-статистики - и , принимаем или отвергаем гипотезу Но. определяется из таблицы распределения Стьюдента для уровня значимости ? и числа степеней свободы df=n-m-1.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством
.
Если , то гипотеза Но отклоняется, то есть не случайно отличен от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора х. Если , то гипотеза Но принимается и признается случайная природа формирования .
выдвигаем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля: .
для числа степеней свободы df=9-2=7 и ?=0,05 составит 2,36.
определим стандартные ошибки и :
,
Тогда
Фактическое t-статистики для коэффициента превосходит табличное значение , поэтому гипотеза Но отклоняется, то есть не случайно отличен от нуля, а статистически значим.
Критическое t-статистики для коэффициента превосходит фактическое значение , поэтому гипотеза Но принимается, то есть случайно отличен от нуля и статистически незначим.
4. Интервальная оценка для коэффициентов определяется по формулам:
;
если в границы доверительного интервала попадает ноль, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительно, и отрицательное значения.
анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметр , находясь в указанных границах, не принимает нулевых значений, то есть является статистически значимым и существенно отличен от нуля. Параметр является статистически незначимым.
5. Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:
и строится доверительный интервал:
Точечный прогноз расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ при прогнозном значении доходов консолидированных бюджетов млрд.руб. составит:
млрд.руб.
Найдем стандартную ошибку прогноза:
Доверительный интервал прогнозируемых расходов консолидируемых бюджетов:
6.
а) вбиваем столбцы исходных данных:
б) строим точечную диаграмму:
в) щелкнуть правой кнопкой мыши на место под диаграмму и выбрать пункт
Выбрать данные:
…………………………………………