Контрольная под мат.анализу вариант 3

• Номер работы:
  1653059
• Раздел:
  Все работы   →   Контрольные работы   →   Математика (ВСЕ направления)
• Год добавления:
  13.12.2025 г.
• Объем работы:
  9 стр.
• Содержание:
  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
  ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
  
  Рекомендации. Рекомендации. Каждый студент обязан выполнить все задания, согласно своему варианту. Контрольную работу следует выполнить в рабочей тетради. Требуется решение задач записывать подробно. Перед выполнением каждого задания следует написать полное условие, чертежи и рисунки необходимо выполнить аккуратно, с необходимыми подписями и обозначениями. Выполненная работа через платформу отправляется на проверку преподавателю, который в случае необходимости может потребовать от студента устные пояснения к выполненной работе, то есть защитить ее. Поэтому, настоятельно рекомендуется выполнять работу самостоятельно. К контрольной работе даются краткие методические указания.
  
  
  Краткие методические указания
  Дифференцирование функции одной переменной
  Определение. Пусть задана элементарная функция , определенная в каждой точке интервала . Берем фиксированную точку из этого интервала и придаем аргументу х любое приращение , настолько малое, что . Функция также получает приращение . Тогда предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при называется производной функции в точке и обозначается:
  .
  Обозначения: .
  Правила дифференцирования:
  1) ;
  2) ;
  3) , где ;
  4) ;
  5) (дифференцирование сложной функции).
  Производные основных элементарных функций простого аргумента представлены в таблице.
  
  
  Формулы (1)–(3), (5)–(6) являются следствием формулы (4) (формула (1) при р = 0, формула (2) при р = 1; формула (3) при р = 2; формула (5) при р = –1; формула (6) при р = 1/2).
  
  Логарифмическое дифференцирование. Если задана сложная степенно-показательная функция , то ее производная вычисляется по схеме:
  1) логарифмируется заданная функция: ;
  2) формально дифференцируются левая и правая части этого равенства: , или ;
  3) из последнего равенства находится искомая производная: .
  Производная неявной функции. Если функция задается как решение некоторого уравнения , т.е. неявно, то производную находим формальным дифференцированием этого равенства.
  Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : .
  При таком задании функции производная вычисляется следующим образом: .
  Вторая производная
  или .
  Значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x:
  
  Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .
  Прямая перпендикулярная к касательной в точке называется нормалью и ее уравнение следует из условия перпендикулярности двух прямых:
  Уравнение нормали
  
  Значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x:
  
  Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .
  Прямая перпендикулярная к касательной в точке называется нормалью и ее уравнение следует из условия перпендикулярности двух прямых:
  Уравнение нормали
  
  
  
  
  
  Вариант 1
  1. В заданиях а–д вычислить первую производную заданных функций, в задании е вычислить первую и вторую производную функции, заданной параметрически:
  а) ;
  б) ;
  в) ;
  г)
  д)
  е) , .
  2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке:
  а)
  б) .
  3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график .
  Вариант 2
  1. В заданиях а–д вычислить первую производную заданных функций, в задании е вычислить первую и вторую производную функции, заданной параметрически:
  а)
  б)
  в)
  г)
  д)
  е)
  2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке:
  а)
  б)
  3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график .
  
• Выдержка из работы:
  Некоторые тезисы из работы по теме Контрольная под мат.анализу вариант 3
  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
  ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
  
  Рекомендации. Рекомендации. Каждый студент обязан выполнить все задания, согласно своему варианту. Контрольную работу следует выполнить в рабочей тетради. Требуется решение задач записывать подробно. Перед выполнением каждого задания следует написать полное условие, чертежи и рисунки необходимо выполнить аккуратно, с необходимыми подписями и обозначениями. Выполненная работа через платформу отправляется на проверку преподавателю, который в случае необходимости может потребовать от студента устные пояснения к выполненной работе, то есть защитить ее. Поэтому, настоятельно рекомендуется выполнять работу самостоятельно. К контрольной работе даются краткие методические указания.
  
  
  Краткие методические указания
  Дифференцирование функции одной переменной
  Определение. Пусть задана элементарная функция , определенная в каждой точке интервала . Берем фиксированную точку из этого интервала и придаем аргументу х любое приращение , настолько малое, что . Функция также получает приращение . Тогда предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при называется производной функции в точке и обозначается:
  .
  Обозначения: .
  Правила дифференцирования:
  1) ;
  2) ;
  3) , где ;
  4) ;
  5) (дифференцирование сложной функции).
  Производные основных элементарных функций простого аргумента представлены в таблице.
  
  
  Формулы (1)–(3), (5)–(6) являются следствием формулы (4) (формула (1) при р = 0, формула (2) при р = 1; формула (3) при р = 2; формула (5) при р = –1; формула (6) при р = 1/2).
  
  Логарифмическое дифференцирование. Если задана сложная степенно-показательная функция , то ее производная вычисляется по схеме:
  1) логарифмируется заданная функция: ;
  2) формально дифференцируются левая и правая части этого равенства: , или ;
  3) из последнего равенства находится искомая производная: .
  Производная неявной функции. Если функция задается как решение некоторого уравнения , т.е. неявно, то производную находим формальным дифференцированием этого равенства.
  Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость функции и аргумента задана посредством параметра : .
  При таком задании функции производная вычисляется следующим образом: .
  Вторая производная
  или .
  Значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x:
  
  Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .
  Прямая перпендикулярная к касательной в точке называется нормалью и ее уравнение следует из условия перпендикулярности двух прямых:
  Уравнение нормали
  
  Значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x:
  
  Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .
  Прямая перпендикулярная к касательной в точке называется нормалью и ее уравнение следует из условия перпендикулярности двух прямых:
  Уравнение нормали
  
  
  
  
  
  Вариант 1
  1. В заданиях а–д вычислить первую производную заданных функций, в задании е вычислить первую и вторую производную функции, заданной параметрически:
  а) ;
  б) ;
  в) ;
  г)
  д)
  е) , .
  2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке:
  а)
  б) .
  3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график .
  Вариант 2
  1. В заданиях а–д вычислить первую производную заданных функций, в задании е вычислить первую и вторую производную функции, заданной параметрически:
  а)
  б)
  в)
  г)
  д)
  е)
  2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке:
  а)
  б)
  3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график .