Содержание:
Задача 1
Даны матрицы А и В. Проверить, что матрица А не вырожденная и найти решение матричного уравнения AX=B
¦(A=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))&B=(¦(3&0@3&0@2&-2)) )
?=|¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1)|=2|¦(0&-2@-1&1)|-3|¦(-1&1@-1&1)|+|¦(-1&1@0&-2)|=
=2(-2)-3(-1+1)+2=-4+2=-2?0
Определитель отличен от нуля, значит матрица невырожденная и имеет обратную
Составим транспонированную матрицу
A^Т=(¦(2&3&1@-1&0&-1@1&-2&1))
Найдем алгебраические дополнения
¦(a_11=|¦(0&-1@-2&1)|=0-2=-2&a_12=-|¦(-1&-1@1&1)|=-(-1+1)=0)
¦(a_13=|¦(-1&0@1&-2)|=2-0=2 &a_21=-|¦(3&1@-2&1)|=-(3+2)=-5)
¦(a_22=|¦(2&1@1&1)|=2-1=1 &a_23=-|¦(2&3@1&-2)|=-(-4-3)=7)
¦(a_31=|¦(3&1@0&-1)|=-3-0=-3&a_32=-|¦(2&1@-1&-1)|=-(-2+1)=1)
a_33=-|¦(2&3@-1&0)|=(0+3)=3
A^*=(¦(-2&0&2@-5&1&7@-3&1&3))
A^(-1)=1/? A^*=1/(-2)(¦(-2&0&2@-5&1&7@-3&1&3))=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))
Проверим правильность нахождения обратной матрицы
AA^(-1)=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))=
=(¦(2•1-1•2,5+1•1,5&2•0+1•0,5-1•0,5&-2•1+1•3,5-1•1,5@3•1+0•2,5-2•1,5&3•0-0•0,5+2•0,5&-3•1-0•3,5+2•1,5@1•1-1•2,5+1•1,5&1•0+1•0,5-1•0,5&-1•1+1•3,5-1•1,5))
=(¦(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
Найдем решение матричного уравнения
X=A^(-1) B=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))(¦(3&0@3&0@2&-2))=
=(¦(1•3+0•3-1•2&1•0+0•0+1•2@2.5•3-0.5•3-3.5•2&2.5•0-0.5•0-3.5•2@1.5•3-0.5•3-1.5•2&1.5•0-0.5•0+1.5•2))=(¦(1&2@-1&-7@0&3))
Задача 2
Решить систему линейных уравнений тремя способами
¦(A=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))&B=(¦(3@3@2)) )
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1-x_2+x_3=2)+
Метод Крамера
?x_1=|¦(3&-1&1@3&0&-2@2&-1&1)|=3|¦(0&-2@-1&1)|-3|¦(-1&1@-1&1)|+2|¦(-1&1@0&-2)|=
=3(-2)-3(-1+1)+2•2=-6+4=-2
x_1=(?x_1)/?=(-2)/(-2)=1
?x_2=|¦(2&3&1@3&3&-2@1&2&1)|=2|¦(3&-2@2&1)|-3|¦(3&1@2&1)|+|¦(3&1@3&-2)|=
=2(3+4)-3(3-2)-6-3=2•7-3•1-9=2
x_2=(?x_2)/?=2/(-2)=-1
?x_3=|¦(2&-1&3@3&0&3@1&-1&2)|=2|¦(0&3@-1&2)|-3|¦(-1&3@-1&2)|+|¦(-1&3@0&3)|=
=2•3-3(-2+3)-3=6-3-3=0
x_3=(?x_3)/?=0/(-2)=0
¦(x_1=1&x_2=-1&x_3=0)
Матричный метод
X=A^(-1) B=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))(¦(3@3@2))=(¦(1•3+0•3-1•2@2.5•3-0.5•3-3.5•2@1.5•3-0.5•3-1.5•2))=(¦(1@-1@0))
Метод Гаусса
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1-x_2+x_3=2)+
Из первой строки вычтем третью
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1=1)+~{-(2-x_2+x_3=3@3-2x_3=3@x_1=1)+~{-(-x_2+x_3=1@2x_3=0@x_1=1)+
{-(-x_2=1@x_3=0@x_1=1)+~{-(x_1=1@x_2=-1@x_3=0)+
Все три решения совпали
Задача 3
В пирамиде ABCDF даны вершины A(2;3;1); B(-1;0;-1); D(1;-2;1)
F(3;3;2), основание пирамиды параллелограмм ABCD. Найти:
Векторы (AB) ?; (AD) ?;(AF) ? и их модули
Вершину C
Работу, проводимую силой F=(AF) ? при перемещении точки приложения вдоль отрезка AC
Внутренний ?A
Площадь ?ABC
Объем пирамиды ABCDF
Проверить, что вектора (AB) ?; (AC) ?;(AF) ? образуют базис, выяснить какая это тройка, правая или левая
Векторы (AB) ?; (AD) ?;(AF) ? и их модули
(AB) ?=(-1-2;0-3;-1-1)
(AB) ?=(-3;-3;-2)
|(AB) ? |=v((-3)^2+(-3)^2+(-2)^2 )=v(9+9+4)=v22
(AD) ?=(1-2;-2-3;1-1)
(AD) ?=(-1;-5;0)
|(AD) ? |=v((-1)^2+(-5)^2+0^2 )=v(1+25)=v26
(AF) ?=(3-2;3-3;2-1)
(AF) ?=(1;0;1)
|(AF) ? |=v(1^2+0^2+1^2 )=v(1+1)=v2
Вершину C
(AC) ?=(AB) ?+(AD) ?=(¦(-3@-3@-2))+(¦(-1@-5@0))=(¦(-4@-8@-2))
(AC) ?=(¦(x_c-2@y_c-3@z_c-1));¦(x_c-2=-4&x_c=-2@y_c-3=-8&y_c=-5@z_c-1=-2&z_c=-1)
C(-2;-5;-1)
Работу, проводимую силой F=(AF) ? при перемещении точки приложения вдоль отрезка AC
Учитываем механический смысл скалярного произведения (скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения – это работа, совершаема силой при перемещении точки ее приложения из начала в конец отрезка:
A=(AF) ?•(AC) ?=1•(-4)+0•(-5)+1•(-2)=-4-2=-6
Внутренний ?A
cosA=((AB) ?•(AD) ?)/(|(AB) ? |•|(AD) ? | )=(-3•(-1)-3•(-5)-2•0)/(v22 v26)=18/(2v(11•23))=9/v253?0.57
?A?56°
………………………………………………….
Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Контрольная работа по математике
Задача 1
Даны матрицы А и В. Проверить, что матрица А не вырожденная и найти решение матричного уравнения AX=B
¦(A=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))&B=(¦(3&0@3&0@2&-2)) )
?=|¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1)|=2|¦(0&-2@-1&1)|-3|¦(-1&1@-1&1)|+|¦(-1&1@0&-2)|=
=2(-2)-3(-1+1)+2=-4+2=-2?0
Определитель отличен от нуля, значит матрица невырожденная и имеет обратную
Составим транспонированную матрицу
A^Т=(¦(2&3&1@-1&0&-1@1&-2&1))
Найдем алгебраические дополнения
¦(a_11=|¦(0&-1@-2&1)|=0-2=-2&a_12=-|¦(-1&-1@1&1)|=-(-1+1)=0)
¦(a_13=|¦(-1&0@1&-2)|=2-0=2 &a_21=-|¦(3&1@-2&1)|=-(3+2)=-5)
¦(a_22=|¦(2&1@1&1)|=2-1=1 &a_23=-|¦(2&3@1&-2)|=-(-4-3)=7)
¦(a_31=|¦(3&1@0&-1)|=-3-0=-3&a_32=-|¦(2&1@-1&-1)|=-(-2+1)=1)
a_33=-|¦(2&3@-1&0)|=(0+3)=3
A^*=(¦(-2&0&2@-5&1&7@-3&1&3))
A^(-1)=1/? A^*=1/(-2)(¦(-2&0&2@-5&1&7@-3&1&3))=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))
Проверим правильность нахождения обратной матрицы
AA^(-1)=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))=
=(¦(2•1-1•2,5+1•1,5&2•0+1•0,5-1•0,5&-2•1+1•3,5-1•1,5@3•1+0•2,5-2•1,5&3•0-0•0,5+2•0,5&-3•1-0•3,5+2•1,5@1•1-1•2,5+1•1,5&1•0+1•0,5-1•0,5&-1•1+1•3,5-1•1,5))
=(¦(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
Найдем решение матричного уравнения
X=A^(-1) B=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))(¦(3&0@3&0@2&-2))=
=(¦(1•3+0•3-1•2&1•0+0•0+1•2@2.5•3-0.5•3-3.5•2&2.5•0-0.5•0-3.5•2@1.5•3-0.5•3-1.5•2&1.5•0-0.5•0+1.5•2))=(¦(1&2@-1&-7@0&3))
Задача 2
Решить систему линейных уравнений тремя способами
¦(A=(¦(2&-1&1@3&0&-2@1&-1&1))&B=(¦(3@3@2)) )
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1-x_2+x_3=2)+
Метод Крамера
?x_1=|¦(3&-1&1@3&0&-2@2&-1&1)|=3|¦(0&-2@-1&1)|-3|¦(-1&1@-1&1)|+2|¦(-1&1@0&-2)|=
=3(-2)-3(-1+1)+2•2=-6+4=-2
x_1=(?x_1)/?=(-2)/(-2)=1
?x_2=|¦(2&3&1@3&3&-2@1&2&1)|=2|¦(3&-2@2&1)|-3|¦(3&1@2&1)|+|¦(3&1@3&-2)|=
=2(3+4)-3(3-2)-6-3=2•7-3•1-9=2
x_2=(?x_2)/?=2/(-2)=-1
?x_3=|¦(2&-1&3@3&0&3@1&-1&2)|=2|¦(0&3@-1&2)|-3|¦(-1&3@-1&2)|+|¦(-1&3@0&3)|=
=2•3-3(-2+3)-3=6-3-3=0
x_3=(?x_3)/?=0/(-2)=0
¦(x_1=1&x_2=-1&x_3=0)
Матричный метод
X=A^(-1) B=(¦(1&0&-1@2,5&-0,5&-3,5@1,5&-0,5&-1,5))(¦(3@3@2))=(¦(1•3+0•3-1•2@2.5•3-0.5•3-3.5•2@1.5•3-0.5•3-1.5•2))=(¦(1@-1@0))
Метод Гаусса
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1-x_2+x_3=2)+
Из первой строки вычтем третью
{-(2x_1-x_2+x_3=3@3x_1-2x_3=3@x_1=1)+~{-(2-x_2+x_3=3@3-2x_3=3@x_1=1)+~{-(-x_2+x_3=1@2x_3=0@x_1=1)+
{-(-x_2=1@x_3=0@x_1=1)+~{-(x_1=1@x_2=-1@x_3=0)+
Все три решения совпали
Задача 3
В пирамиде ABCDF даны вершины A(2;3;1); B(-1;0;-1); D(1;-2;1)
F(3;3;2), основание пирамиды параллелограмм ABCD. Найти:
Векторы (AB) ?; (AD) ?;(AF) ? и их модули
Вершину C
Работу, проводимую силой F=(AF) ? при перемещении точки приложения вдоль отрезка AC
Внутренний ?A
Площадь ?ABC
Объем пирамиды ABCDF
Проверить, что вектора (AB) ?; (AC) ?;(AF) ? образуют базис, выяснить какая это тройка, правая или левая
Векторы (AB) ?; (AD) ?;(AF) ? и их модули
(AB) ?=(-1-2;0-3;-1-1)
(AB) ?=(-3;-3;-2)
|(AB) ? |=v((-3)^2+(-3)^2+(-2)^2 )=v(9+9+4)=v22
(AD) ?=(1-2;-2-3;1-1)
(AD) ?=(-1;-5;0)
|(AD) ? |=v((-1)^2+(-5)^2+0^2 )=v(1+25)=v26
(AF) ?=(3-2;3-3;2-1)
(AF) ?=(1;0;1)
|(AF) ? |=v(1^2+0^2+1^2 )=v(1+1)=v2
Вершину C
(AC) ?=(AB) ?+(AD) ?=(¦(-3@-3@-2))+(¦(-1@-5@0))=(¦(-4@-8@-2))
(AC) ?=(¦(x_c-2@y_c-3@z_c-1));¦(x_c-2=-4&x_c=-2@y_c-3=-8&y_c=-5@z_c-1=-2&z_c=-1)
C(-2;-5;-1)
Работу, проводимую силой F=(AF) ? при перемещении точки приложения вдоль отрезка AC
Учитываем механический смысл скалярного произведения (скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения – это работа, совершаема силой при перемещении точки ее приложения из начала в конец отрезка:
A=(AF) ?•(AC) ?=1•(-4)+0•(-5)+1•(-2)=-4-2=-6
Внутренний ?A
cosA=((AB) ?•(AD) ?)/(|(AB) ? |•|(AD) ? | )=(-3•(-1)-3•(-5)-2•0)/(v22 v26)=18/(2v(11•23))=9/v253?0.57
?A?56°
………………………………………………….