Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Метод приближенного решения уравнений.
Введение
Множество задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности, требует установления численных значений.
Точные методы решения уравнений с помощью равносильных алгебраических преобразований позволяют найти корни уравнения в виде конечной формулы.
К сожалению, точные решения существуют только для небольшого класса уравнений определенного вида – линейные, квадратные, тригонометрические и некоторые другие. Например, для полинома пятой степени доказано отсутствие общей аналитической формулы нахождения корней.
……………………………………………….
Глава 1. Теоретические основы
1.1. Приближенное решение уравнений
Процесс приближенного решения уравнений можно разделить на два этапа:
1) отделение корней;
2) уточнение (нахождение) корней.
Будем говорить, что корень t отделен на отрезке [а; b] (a
Отделить корни уравнения – значит для каждого из действительных корней найти свои отрезки изоляции.
Данный этап является самым важным, так как большинство приближенных методов нахождения корня уравнения имеют обязательное требование, чтобы на рассматриваемом отрезке существовал только один корень.
Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа ? > 0 называется уточнением этого корня.
Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число х такое, что
|t – х| < ? (1)
Тогда будем считать, что t ? х , или что t и х равны с точностью ?.
Если отрезок [а; b] изоляции корня t найден, то любое число из него можно взять в качестве начального приближенного значения корня.
Рассмотрим основные методы приближенного нахождения корня уравнения на заданном отрезке.
Будем искать приближенное решение уравнения
f(x) = 0 (2)
где у = f(x) – некоторая непрерывная или дифференцируемая функция.
Будем считать, что интересующий нас корень с этого уравнения изолирован на некотором сегменте [а, b], т. е. будем считать, что этот корень является внутренней точкой сегмента [а, b], в котором нет других корней рассматриваемого уравнения.
Если, сверх того, на концах промежутка функция f(x) имеет значения f(a) и f(b) разных знаков, то, применяя первую теорему Больцано - Коши, можно последовательно делить на части промежуток, содержащий корень, и определять знак функции f(x) в точках деления. Таким образом можно
произвольно сужать этот промежуток и тем осуществить приближенное вычисление корня. Однако, этот прием, несмотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, ибо требует слишком большого количества вычислений.
Существуют более качественные методы приближенного вычисления (изолированного) корня уравнения (2), которые более систематически и более быстро ведут к цели.
……………………………………………….
Список использованной литературы
1. Ефимов А.В., Демидович Б.П. и др. Сборник задач по математическому анализу, в 4 т. Том 1. – М.: МЦНМО, 2003. – 463 с.
2. Зорич, В.А Математический анализ. Часть 1 / В.А Зорич. – М.: МЦНМО, 2018. – 564 c.
3. Зорич, В.А Математический анализ задач естествознания. / В.А Зорич. – М.: МЦНМО, 2017. – 160 c.
4. Ильин, В.А. Математический анализ. Ч. 1: Учебник для бакалавров / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 660 c.
5. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. в 3 т: Том 1 / Фихтенгольц Г. М. – 10-е изд. – Москва : Физматлит, 2018. – 607 с.
6. 109. Шилов, Г. Математический анализ. Функции одного переменного: Учебное пособие / Г. Шилов. – СПб.: Лань, 2002. – 880 c.
7. Шубин, М.А. Математический анализ для решения физических задач / М.А. Шубин. – М.: МЦНМО, 2003. – 40 c.