Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Решение задач по начертательной геометрии
Задача № 1 (4)
В ?ABC известно, что AB=40, BC=35. ?BAC=?60?^?, BD – биссектриса. Найдите радиус окружности, вписанной в ?ADB.
Решение
…………………………..
Задача № 2 (6)
В остроугольном треугольнике ABC ?BAC=?. На стороне BC как на диаметре построена окружность, пересекающая AC в точке N, а AB – в точке M. Найдите отношение площадей треугольников ?AMN и ?ABC.
Решение
…………………………..
Задача № 3 (2)
В треугольнике ?ABC точка D лежит на стороне AB, причем AD=2, DB=1, DC=v2. Найдите площадь треугольника ?ABC, если ?ACB=?120?^°
Решение
…………………………..
Задача № 4 (2)
В треугольнике ABC |AB|=4, градусные меры углов BAC и ABC равны ?30?^° и ?130?^° соответственно. На стороне AB как на диаметре построен круг. Найдите площадь части этого круга, лежащей внутри треугольника ABC.
Решение
…………………………..
Задача № 5 (4)
В треугольнике ABC с периметром 2•p длина стороны AC равна a и величина острого угла ABC равна ?. Вписанная в треугольник ABC окружность с центром в O касается стороны BC в точке K. Найдите площадь треугольника BOK.
Решение
…………………………..
Задача № 6 (6)
Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, если |AB|=5, |AC|=2, а точки A, D, E и C лежат на одной окружности.
Решение
…………………………..
Задача № 7 (8)
В окружности, длина радиуса которой равна R=4, проведена хорда AB и диаметр AK, причем угол BAK=?/8. В точке B проведена касательная к этой окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке C. Найдите длину медианы AM треугольника ABC.
Решение
…………………………..
Задача № 8 (10)
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке E. Найдите величину угла CDB, если |AD|=5, |AC|=2•v7, |BE|=4, (|BD|)/(|CE|)=3/2.
Решение
…………………………..
Задача № 9 (12)
Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке M и пересекает стороны AC и AB в точках L и K соответственно. Найдите отношение |AC|/|AB| , если известно, что длина отрезка CL в два раза больше длины отрезка BK, |CM|/|BM| =3/2.
Решение
…………………………..
Задача № 10 (14)
Две окружности с радиусами разной длины касаются в точке A одной и той же прямой и расположены по разные стороны от нее. Отрезок AB – диаметр окружности меньшего радиуса. Из точки B проведены две прямые, касающиеся окружности большего радиуса в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекает меньшую окружность в точке K. Известно, что |MK|=v(2+v3) , ?BMA=?/12. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A.
Решение
…………………………..
Задача № 11 (16)
Две окружности, длины радиусов которых равны 6 и 8, пересекаются в точках A и B. Через центры O_1 и O_2 этих окружностей проведена прямая; C_1 и C_2 – две из четырех точек пересечения этой прямой с окружностями, причем точка C_1 лежит на окружности с центром O_1, а длина отрезка C_1 C_2 больше 20. Найдите расстояние между точками O_1 и O_2, если произведение площадей треугольников C_1 O_1 A и C_2 O_2 B равно 336.
Решение
…………………………..
Задача № 12 (18)
Длина радиуса окружности, описанной около треугольника KLM, равна R. Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне KM. Эту прямую пересекают в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонам KL и LM. Известно, что |AL|=a. Найдите |BL|.
Решение
…………………………..
Задача № 13 (97)
Углы произвольного треугольника ABC разделены на три равные части прямыми AY, AZ; BZ, BX; CX, CY. Доказать, что треугольник XYZ – равносторонний.
Решение
…………………………..
Задача № 14 (104)
Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две секущие KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB), KN пересекает AB в точке Q, ML – в точке P (рисунок 9). Доказать, что QC=CP.
Решение
…………………………..
Задача № 15 (107)
Какая зависимость должна существовать между радиусами R и r и расстоянием d между центрами двух окружностей, для того, чтобы можно было построить треугольник, вписанный в первую окружность и описанный около второй окружности?
Решение
…………………………..
Задача № 16 (111)
В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Доказать, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
Решение
…………………………..
Задача № 17 (115)
Доказать, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами диагоналей.
Решение
…………………………..
Задача № 18 (109)
Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и три диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны между собой, то вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.
Решение
…………………………..
Задача № 19 (110)
Доказать, что если три диагонали вписанного шестиугольника служат диаметрами описанного круга, то площадь этого шестиугольника равна удвоенной площади треугольника со сторонами, равными трем остальным диагоналям.
Решение
…………………………..
Задача № 20 (91)
На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты (рисунок 14). Доказать, что их центры сами образуют квадрат.
Решение
…………………………..
Задача № 21 (92)
На сторонах произвольного треугольника вне его построены равносторонние треугольники. Доказать, что их центры сами образуют равносторонний треугольник (рисунок 15).
Решение
…………………………..
Задача № 22 (93)
Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B. Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна 1/(n+1) всей диагонали.
Решение
…………………………..
Задача № 23 (94)
Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
Решение
…………………………..
Задача № 24 (95)
Определить углы треугольника, в котором медиана биссектриса и высота делят угол на четыре равные части.
Решение
…………………………..
Задача № 25 (96)
Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.
Решение
…………………………..
Задача № 26 (99)
Доказать, что в любом треугольнике три середины сторон, три основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от ортоцентра до вершины, лежат на одной окружности (окружность девяти точек).
Решение
…………………………..
Задача № 27 (102)
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем движется параллельно AB до пересечения со стороной BC, затем – параллельно AC до пересечения с AB и т.д. Доказать, что через некоторое число таких шагов точка вернется в исходное положение и найти это число шагов.
Решение
…………………………..
Задача № 28 (103)
Точка Q движется прямолинейно к вершине A треугольника ABC. На половине пути она сворачивает и движется к вершине B, на половине пути она сворачивает и движется к вершине C; на половине этого пути она снова сворачивает к A и т.д. (рисунок 21).
Доказать, что существует треугольник, на который точка Q стремится попасть. Построить этот треугольник и вычислить его площадь, если площадь треугольника ABC равна S.
Рисунок 21 – Условие задачи в графическом виде
Решение
…………………………..
Задача № 29 (105)
Доказать, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого
Рисунок 24 – Условие задачи в графическом виде
Решение
…………………………..