Выдержка из работы:
Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.
Основными элементами гео¬метрии являются неопределяемые понятия. Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения:
Лежать между, применимо к точкам;
Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом.
Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.
Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:
• аксиомы принадлежности:
o планиметрические:
1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
o стереометрические:
1. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
2. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.
3. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.
4. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.
5. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
• аксиомы порядка: