Распределение случайных величин

• Номер работы:
  301928
• Раздел:
  Все работы   →   Курсовые проекты - сложные   →   Теория вероятностей
• Год добавления:
  04.06.2014 г.
• Объем работы:
  8 стр.
• Содержание:
  Моё распределение:
  
  Дискретное равномерное распределение-
  I. Вероятность задана значениями .
  
  _______________________________________________________________
  
  Распределение Лапласа (двустороннее показательное). Плотность вероятности .
  Распределение Эрланга: Г(m,?).
  Плотность вероятности: f(x)=(x^(m-1) e^(-?x) ?^m)/(m-1)!,?>0,m?N,x?0.
  
  
  В персональном задании для каждого студента приведён закон распределения случайной величины в параметрической форме.
  
  
  I. Теоретическая часть
  
  Требуется:
  
  I.1. Найти
  I.1.1. Функцию распределения случайной величины .
  
  F(x)?F_? (x)=?_(-?)^x-?f(t)dt=?_0^x-?f(t)dt=?_0^x-?/2?? e^(-?|t-?| ) dt=?/2 ?_0^x-?e^(-?|t-?| ) dt= ?
  ={-(y=?|t-?|,@dy=?|dt-?| )}= ?/2 ?_0^x-?e^(-y) dy/? ?
  Необходимо рассмотреть два случая x?? и x??
  
  F(x)= {-(1/2 e^(?(x-?)) x??@1-1/2 e^(-?(x-?) ) x>?)+
  
  Проверка свойств полученной функции
  F(x) не убывает, так как f (x) положительна
  F(?-0)=F(?+0)=1/2 следовательно F(x) непрерывна в точке ?
  F(x) ограничена
  Пределы на бесконечностях
  
  limT(x>-?)??F(x)=1/2? limT(x>-?)??e^(?(x-?)) =0?
  limT(x>+?)??F(x)=1-1/2? limT(x>+?)??e^(-?(x-?)) =0?
  
  I.1.2. Математическое ожидание, дисперсию, -й момент случайной величины .
  
  В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал (-?; +?), необходимо разбить на (-?,?; ?+?)
  Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей (+?), расматриваются пределы вида .
  ...............................................
  
  Мода и медиана равны ?;
  Коэффициент асимметрии: ?1 = 0
  Коэффициент эксцесса: ?2 = 6? ? 3
  I.2. Исследовать поведение вероятностей (только для дискретных распределений)
  .
  Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
  
  ?-?x^k e^(?(x-?)) dx?=1/? x^k e^(?(x-?))-k/?^2 x^k e^(?(x-?))+(k(k-1))/?^3 x^k e^(?(x-?))-
  … + ?(-1)?^(k-1) (k(k-1)…3*2)/?^k xe^(?(x-?))+?(-1)?^k (k(k-1)…)/?^(k+1) e^(?(x-?))
  =?-?x^k e^(-?(x-?)) dx?=-1/? x^k e^(-?(x-?))-k/?^2 x^(k-1) e^(-?(x-?))+(k(k-1))/?^3 x^(k-3) e^(-?(x-?))-
  …(k(k-1)…2*1)/?^k x^ e^(-?(x-?))-(k(k-1)…2*1)/?^(k+1) e^(-?(x-?))
  I.3. Указать способ моделирования случайной величины исходя из того, что имеется случайная величина с распределением (другими словами, требуется найти преобразование , которое позволяет из случайной величины получить случайную величину с законом распределения ).
  
  ?_(-?)^?-x^k e^(?(x-?)) dx=1/? ?^(k-1)-k/?^2 ?^(k-2)+(k(k-1))/?^3 ?^(k-2)=
  
  …+?(-1)?^(k-1) (k(k-1)…3*2)/?^k *?+?(-1)?^k (k(k-1)…2*1)/?^(k+1)
  ?_?^(+?)-x^k e^(-?(x-?)) dx=1/? ?^k-k/?^2 ?^(k-2)+k(k-1)/?^3 ?^(k-2)+?
  
  +(k(k-1)…3*2)/?^k ?+(k(k-1)…2*1)/?^(k+1)
  
  
  I.4. Решить задачу. Пусть – независимые в совокупности одинаково распределённые случайные величины и . Найти распределения случайных величин и
  
  Зафиксируем произвольное число . Заметим, что , поскольку это максимум из случайных величин, принимающих значения на отрезке [0, 1] п.н. Поэтому
  
  P(?-1)>?)=P(1-?-1>?)
  
  
  Для того, чтобы установить сходимость последней вероятности к нулю, можно её либо найти, либо оценить с помощью неравенства Маркова. Сделаем и то, и другое.
  Найдём эту вероятность.
  P(1-?)>?)=P(?<1-?)
  ...........................................
• Выдержка из работы:
  Некоторые тезисы из работы по теме Распределение случайных величин
  Моё распределение:
  
  Дискретное равномерное распределение-
  I. Вероятность задана значениями .
  
  _______________________________________________________________
  
  Распределение Лапласа (двустороннее показательное). Плотность вероятности .
  Распределение Эрланга: Г(m,?).
  Плотность вероятности: f(x)=(x^(m-1) e^(-?x) ?^m)/(m-1)!,?>0,m?N,x?0.
  
  
  В персональном задании для каждого студента приведён закон распределения случайной величины в параметрической форме.
  
  
  I. Теоретическая часть
  
  Требуется:
  
  I.1. Найти
  I.1.1. Функцию распределения случайной величины .
  
  F(x)?F_? (x)=?_(-?)^x-?f(t)dt=?_0^x-?f(t)dt=?_0^x-?/2?? e^(-?|t-?| ) dt=?/2 ?_0^x-?e^(-?|t-?| ) dt= ?
  ={-(y=?|t-?|,@dy=?|dt-?| )}= ?/2 ?_0^x-?e^(-y) dy/? ?
  Необходимо рассмотреть два случая x?? и x??
  
  F(x)= {-(1/2 e^(?(x-?)) x??@1-1/2 e^(-?(x-?) ) x>?)+
  
  Проверка свойств полученной функции
  F(x) не убывает, так как f (x) положительна
  F(?-0)=F(?+0)=1/2 следовательно F(x) непрерывна в точке ?
  F(x) ограничена
  Пределы на бесконечностях
  
  limT(x>-?)??F(x)=1/2? limT(x>-?)??e^(?(x-?)) =0?
  limT(x>+?)??F(x)=1-1/2? limT(x>+?)??e^(-?(x-?)) =0?
  
  I.1.2. Математическое ожидание, дисперсию, -й момент случайной величины .
  
  В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал (-?; +?), необходимо разбить на (-?,?; ?+?)
  Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей (+?), расматриваются пределы вида .
  ...............................................
  
  Мода и медиана равны ?;
  Коэффициент асимметрии: ?1 = 0
  Коэффициент эксцесса: ?2 = 6? ? 3
  I.2. Исследовать поведение вероятностей (только для дискретных распределений)
  .
  Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
  
  ?-?x^k e^(?(x-?)) dx?=1/? x^k e^(?(x-?))-k/?^2 x^k e^(?(x-?))+(k(k-1))/?^3 x^k e^(?(x-?))-
  … + ?(-1)?^(k-1) (k(k-1)…3*2)/?^k xe^(?(x-?))+?(-1)?^k (k(k-1)…)/?^(k+1) e^(?(x-?))
  =?-?x^k e^(-?(x-?)) dx?=-1/? x^k e^(-?(x-?))-k/?^2 x^(k-1) e^(-?(x-?))+(k(k-1))/?^3 x^(k-3) e^(-?(x-?))-
  …(k(k-1)…2*1)/?^k x^ e^(-?(x-?))-(k(k-1)…2*1)/?^(k+1) e^(-?(x-?))
  I.3. Указать способ моделирования случайной величины исходя из того, что имеется случайная величина с распределением (другими словами, требуется найти преобразование , которое позволяет из случайной величины получить случайную величину с законом распределения ).
  
  ?_(-?)^?-x^k e^(?(x-?)) dx=1/? ?^(k-1)-k/?^2 ?^(k-2)+(k(k-1))/?^3 ?^(k-2)=
  
  …+?(-1)?^(k-1) (k(k-1)…3*2)/?^k *?+?(-1)?^k (k(k-1)…2*1)/?^(k+1)
  ?_?^(+?)-x^k e^(-?(x-?)) dx=1/? ?^k-k/?^2 ?^(k-2)+k(k-1)/?^3 ?^(k-2)+?
  
  +(k(k-1)…3*2)/?^k ?+(k(k-1)…2*1)/?^(k+1)
  
  
  I.4. Решить задачу. Пусть – независимые в совокупности одинаково распределённые случайные величины и . Найти распределения случайных величин и
  
  Зафиксируем произвольное число . Заметим, что , поскольку это максимум из случайных величин, принимающих значения на отрезке [0, 1] п.н. Поэтому
  
  P(?-1)>?)=P(1-?-1>?)
  
  
  Для того, чтобы установить сходимость последней вероятности к нулю, можно её либо найти, либо оценить с помощью неравенства Маркова. Сделаем и то, и другое.
  Найдём эту вероятность.
  P(1-?)>?)=P(?<1-?)
  ...........................................