Выдержка из работы:
Некоторые тезисы из работы по теме Несобственные двойные интегралы: определение и способы вычисления
Введение
Обычно при изучении функций одной переменной сталкиваются с необходимостью обобщить понятие определенного интеграла на такие функции, которые не являются непрерывными в замкнутом промежутке интегрирования. Для этого вводятся интегралы от функций, имеющих разрывы первого рода (конечные скачки), интегралы от функций, обращающихся в бесконечность в отдельных точках промежутка интегрирования, а также интегралы по бесконечным промежуткам.
Аналогично действуют и для обобщения кратных, в том числе и двойных, интегралов.
1.1 Интегралы функций, имеющей конечные разрывы
Для функции, имеющей в области интегрирования G только конечные скачкообразные нарушения непрерывности, способ обобщения понятия двойного интеграла напрашивается сам собой. Достаточно будет пояснить этот способ на примере двойного интеграла по области G плоскости xy.
Предполагаем, что область G можно разбить конечным числом гладких криволинейных дуг на конечное число таких частичных областей или районов G1, G2, …, Gn, что подынтегральная функция f(x, y) непрерывна внутри каждого района, а когда точка приближается изнутри каждого района к его границе, то значение функции в этой точке стремится к определенным предельным значениям (вообще говоря, различным для разных точек границы). Однако предельные значения, к которым стремится функция, когда мы приближаемся к какой-либо точке общей границы двух районов, могут быть различными, когда мы приближаемся к этой точке из одного или из другого района.
Интеграл от функции f(x, y) по каждому району Gk подходит под обычное определение двойного интеграла, если только мы дополним определение функции в Gk соответствующими ее значениями на границе до функции, непрерывной в замкнутом районе Gk. Двойной интеграл от функции f по всей области G мы определим теперь как сумму интегралов от этой функции по всем частичным областям Gk.
В качестве примера рассмотрим функцию, определенную на квадрате следующим образом:
Для этой функции прямая y = x является линией разрыва. Вычисляя, согласно сделанному определению, несобственный двойной интеграл по указанному выше квадрату, получаем…
................
Используемая литература
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т.3 / Пред. и прим. А.А. Флоринского. -8-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 728 с.: ил.
2. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу.: Учебник для университетов и пед. Вузов / Под ред. В. А. Садовничего – М.: Высш. шк., 1999 – 695 с.
3. Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., M., 1966.
4. Курант. Р., Курс диференциального и интегрального исчисления, том 1. – М.: Наука, 1967 – 704 с.
5. Курант. Р., Курс диференциального и интегрального исчисления, том 2. – М.: Наука, 1970 – 674 с.