Предел функции и непрерывность

• Номер работы:
  87607
• Раздел:
  Все работы   →   Рефераты и реферативные задания   →   Математика (ВСЕ направления)
• Год добавления:
  28.04.2008 г.
• Куда сдавалась:
  МИУ
• Объем работы:
  25 стр.
• Содержание:
  Содержание
  
  Предел функции………………………………………………………………………………..3
  1. Основные понятия, относящиеся к функции……………………………………...3
  2. Ограниченность. Точные грани……………………………………………………...3
  3. Элементарные функции………………………………………………………………4
  4. Определение предела по Коши……………………………………………………..4
  5. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа………………………5
  6. Определение предела по Гейне…………………………………………………….6
  7. Критерий Коши существования предела функции……………………………….8
  8. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел……………9
  9. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке………….10
  10. Предел сложной функции…………………………………………………………..10
  Свойства пределов…………………………………………………………………………..11
  1. Переход к пределу в неравенствах……………………………………………….11
  2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции…………………………...12
  3. Замечательные пределы……………………………………………………………14
  4. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов функций……………………………………………………17
  Непрерывные функции………………………………………………………………………18
  1. Непрерывность в точке и на множестве………………………………………….18
  2. Простейшие свойства непрерывных функций…………………………………18
  3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса………….19
  4. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции……………….20
  5. Критерий непрерывности монотонной функции………………………………...21
  6. Непрерывность обратной функции……………………………………………….22
  7. Непрерывность элементарных функций…………………………………………22
  Список литературы…………………………………………………………………………..25
  
• Выдержка из работы:
  Некоторые тезисы из работы по теме Предел функции и непрерывность
  
  Предел функции
  1. Основные понятия, относящиеся к функции
  1. Определение функции. Обратная функция. Суперпозиция
  Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.
  X, Y множества вещественных чисел. Функция определяется как отображение из X в Y, . X называется областью определения функции, а Y - областью значений.
  Если, кроме того, различным x отвечают различные y , то ?y?Y?!x?X:f(x)=y.
  Полученная зависимость y?x называется обратной функцией и обозначается f -1.
  Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция f-1.
  Для доказательства этого утверждения необходимо проверить выполнение условия единственности x в выражении ?y?Y?!x?X:f(x)=y , которое следует из строгой монотонности функции.
  Суперпозиция g:T?X,f:X?Y, :T?Y. Пишут также y = f(g(t)).
  
  2. Ограниченность. Точные грани
  f определена на X.
  Ограничена на множестве X. ?b?x?X:|f(x)|?b
  Ограничена сверху на множестве X. ?b?x?X:f(x)? b
  Ограничена снизу на множестве X. ?b?x?X:f(x)? b.
  Точная верхняя грань
  1.?x?X:f(x)?b
  2.??>0?x?X:f(x)>b-?
  Верхняя грань достигается, если ? x?X:f(x)=b.
  
  3. Элементарные функции..
  
  …
  7. Непрерывность элементарных функций
  1)Непрерывность функции ax, a>0.
  Справедливо равенство .
  a) Если a>1, обозначим , a=(?n+1)n > n?n, ?n Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенство . Именно, , n=(?n+1)n > , ?n< , следовательно ?n – б.м..
  b) Если a <1, то , b > 1.
  Докажем, что (непрерывность в 0 функции ax ).
  1? a> 1
  Пусть {xk} последовательность типа Гейне для 0+0, то есть xk?0, xk>0. Можно считать, что xk < 1. Для последовательности целых частей дроби будут выполнены неравенства . Откуда, в частности, следует, что nk?+? и далее, переходя к пределу при k?? , получим требуемое равенство.
  Аналогично рассматривается случай x? 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение .
  2? Если a<1, то bx=1/ax, b=1/a > 1.
  2) Функция ax непрерывна в точке x0 . Это следует из равенства .
  
  …
  
  
  Список литературы
  1. Л.Д.Кудрявцев, Курс математического анализа I том: М, Высшая школа, 1981
  
  2. Л.Д.Кудрявцев, Курс математического анализа II том: М, Высшая школа, 1981
  
  
  …